モンティ・ホール問題というのがあるそうです。かなり有名な確率論のテーマ。「悪の教典」で簡単に紹介されていました。
テレビのクイズ番組です。司会者の名前はモンティ・ホール。なのでこの名称になったらしい。
で、回答者の前にはドアが3つある。そのうち2つはヤギが入っている。要するに無駄骨のハズレ。1つには豪華なクルマが入っている。アタリです。
回答者はドアのうち一つを選びます。正解の可能性は3分の1ですね。ここまではわかる。
すると司会者は、回答者が選ばなかったドアのうちの片方を開けます。そこにはヤギが入っています。どのドアがヤギで、どのドアがクルマかを司会者は事前に知ってるわけです。回答者がどのドアを選んでも、残りのドアの1つ、あるいは2つにはヤギがいる。それを選んで司会者はドアを開け放つ。
で、司会者は親切そうな顔で言います。「では最終決断。さきほど選んだドアのままでもいいです。あるいは違うドアに変更してもいいです。さあ、どうします？」
直感としては変更してもしなくても確率は変わりません。残った2つのドアのどちらかにクルマがあるわけで、確率は2分の1のはず。
ところが違うというんですね。
最初の選択のままで通す場合、クルマの可能性は3分の1でした。その後で司会者がなんか余計なことをして、確率が2分の1であることを保証してくれたようにも見えますが、しかし「選んだ時点での確率」は3分の1のままです。
では気を変えてドアを変更した場合はどうでしょうか。確率が3分2に上がるというのです。
うーん。納得できません。直感に反するからです。
いろんな説明方法があるようですが、比較的分かりやすいのは「まずヤギを選ぶ」という考え方でした。
最初はあえてヤギ(ハズレ)を選ぼうとしていると考えます。ヤギは2匹なので可能性は3分2です。うん、確かに。そしてモンティが残りドアのヤギを開けてくれるので、もし最初にヤギを選んでいたのなら、もう一つのドアはクルマに間違いありません。つまり「まずヤギを選ぶ」「次にそのドアを変更する」という手順をふむことで、3分の2の確率のままクルマをゲットすることができます。
話を極端にして、ドアの枚数を10枚にしますか。まず1枚を選んだ場合、もちろん正解の確率は10分の1。つぎにモンティが残り9枚のうち8枚を開けます。そして最初に選んだドアのままか、残ったもう1枚のドアにするかを決めさせます。
うーん、条件がかなり変わってしまったわけですが、それでも最初のドアに固執するか、あっさりもう一つのドアに変更するか。分かりきったことのような気もしますが、なんか騙されたような気もする。
実際、シミュレシーション計算でも、ドアの変更のほうが有利なんだそうです。ふーん。
久しぶりに慣れないアタマを使ってしまいました。学生時代から数学は苦手だったしなあ。
追記
でもそうした経緯をいっさい無視して、要するに残った2つのドアのどちらを選ぶか。つまり変更してもいいし、変更しなくてももいい、片方はクルマ、片方はヤギ・・・と考えると、確率は2分の1のはずです。わからん。
「モンティ・ホールのジレンマ」と称されるゆえんでしょうね。